Златното сечение

Divina proportio – “божествена пропорция”, така нарекли древните и средновековните математици златното сечение, което сега е слязло от върховете на своята олимпийска височина в... обикновените учебници.

Но освен това, което говорят учебниците за златното сечение, вероятно ще може да се каже още нещо.

Златното сечение на една отсечка a на две части се изразява по следния начин: цялата отсечка се отнася към своята по-голяма част така, както по-голямата част към по-малката. Оттук получаваме следната пропорция:

а : x = х : (а – х).

Тая пропорция дава квадратното уравнение

Оттук получаваме отношението x/a на златното сечение във формата на числото

 

което е равно на десетичната дроб 0,61804 ...или на много необикновената верижна дроб:

Както виждаме, получава се доста сложна пропорция.

----------------------

И тук възниква интересна математическа среща с известния ред на Фибоначи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Като вземем членовете на тоя ред за числители и напишем под тях същите тия членове без първата единица като ред на съответни знаменатели, получаваме ред от дробни числа:

в който, като почнем от третия член, ще намерим пропорцията на златното сечение, изразявана все по-точно, а именно:

Златното сечение въпреки своята много сложна съизмеримост, а в действителност несъизмеримост е все пак най-често срещаната пропорция в природата и най-често прилаганата в произведенията на човешкото изкуство.

В човешкото тяло или, по-точно казано, в тялото на мъжа (което, колкото и странно да ни се вижда това, за древните минавало за по-изкусно сложено от това на жената) както цялата фигура, така и много нейни части са подчинени на законите на златното сечение.

Ето славният белведерски Аполон, разсечен според златното сечение. Линията I разделя цялата фигура на две характерни за "божествената пропорция" части. Линията Е показва отношението между главата и горната част на тялото, а линията О означава разделението на краката при колената според златното сечение.

Тук трябва да се прибави, че ако разделим човешката фигура в същата пропорция, но преместим по-малката част долу, а по-голямата горе, разделящата линия ще минава през края на пръстите на свободно увисналите ръце.

Деленето на главата, взета в профил, на характерните части дава цяла редица пропорции, които са много близки до златното сечение. Същото може да се каже за ръката и дланта.

Ако преминем от човека към растенията, ще намерим там наистина удивително много примери на златното сечение.

Да разгледаме разположението на листата на едно общо стъбло. Виждаме, че между всеки два чифта листа третият чифт лежи в мястото на златното сечение.

Още по-интересни резултати дава анализата на разположението на листата на клончетата и на отделните клончета на стъблото. Лесно може да се забележи, че листата не лежат точно един над друг, а точно обратно; съседните листа се отклоняват от правата линия, обкръжавайки клончето.

Ако от едната основа на листа до втората, третата и т.н.... прекараме по дължината на клончето конец, ще се уверим, че конецът ще се върти около клончето и ще създаде доста правилна витлова линия. Това се вижда добре на фотографията на кленов филиз, поместена на следващата страница.

Разположението на листата на различни растения в ботаниката се характеризира с броя на оборотите на витловата линия и с броя на листата, влизащи в състава на един цикъл. Цикъл се нарича разстоянието между листата, разположени точно един над друг по дължината на клона или стъблото. За по-кратко тая зависимост се дава във вид на дроб, в която броят на оборотите е числител, а броят на промеждутъците между листата – знаменател.

Ако за да стигнем от един лист до друг, лежащ точно над него, трябва да направим три оборота на клона и в това пространство се срещат общо 8 промеждутъка, тогава разположението на листата се изразява с дробта 3/8.

Лесно може да се разбере, че тази дроб показва едновременно и ъгъла на разклонението между два съседни листа; например 3/8 оборота е равно 135°. От това е ясно, че дробите 3/8 и 5/8 изразяват едно и също месторазположение на листата, тъй като ъгълът, равен на 5/8 оборота, допълва до 360° ъгъла, равен на 3/8 оборота; различни числа се получават затова, защото спиралните линии прекарваме веднъж от дясната страна към лявата, а друг път – от лявата към дясната.

Най-често повтарящи се разположения на листата са следните:

 

при това отдавна било забелязано, че тая редица се характеризира с една интересна и неочаквана особеност, а именно, че всяка дроб. (почвайки от третата) възниква от двете предшестващи, като съберем техните числители и знаменатели. Действително

Значи стига да се запомнят първите две дроби, за да може да се напише цялата редица.

Откъде идва това необикновено свойство?

Ако в тоя ред заместим дробите 2/5, 3/8 и т.н. с равнозначните в тоя случай дроби 3/5, 5/8,...,  ще получим пак ред на Фибоначи в числителите и знаменателите:

Това означава, че разположението на листата е в доста тясна връзка със златното сечение.

----------------------

Имало учени, които разширили своите изследвания и върху взаимните отношения между другите части на растенията и навсякъде намирали подобна връзка между устройството на растителния свят и златното сечение.

----------------------

Преминавайки към проучванията на произведенията на изкуството, а особено към архитектурата, трябва да констатираме, че спазването на златното сечение дава най-приятни за човешкото око пропорции.

Дължината на архитрава [главната греда] на знаменития гръцки Партенон се отнася към височината на цялото здание, както 1:0,618. Същата черта откриваме и при другите части на тоя шедьовър на класическото строителство.

Златното сечение, царувайки в природата, царува и в човешкото око, и в човешкото ухо, защото и в музиката намираме определени следи от същата златна пропорция.

kak se namira proporcite

как се е стигна до пропорцията 1:0,618 ли? Ако това е въпросът ти, отговорът е, чрез решаването на квадратното уравнениеот първата картинка, доколкото си спомням единият отговор е отрицателно число - затова го елиминираме, няма как да е; остава другото число... поздрави